数字信号处理专题(3)，mdash，mdash，FFT运算初探

一、什么是FFT

FFT是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）的简称，是现代数字信号处理技术中应用最广泛的一种算法。

FFT算法被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩、语音处理、音频编解码、数字滤波、频域分析、子空间信号分解、机器学习等领域。FFT算法的快速性质使得处理需要高计算量的信号成为可能。

二、FFT原理

傅里叶分析是信号处理中十分常用的手段，其核心便是傅里叶级数和傅里叶变换。傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，即通过傅里叶变换，我们可以知道不同频率的分量在输入信号中所占的比例大小。

傅里叶变换本身是一种数学方法，它可以适用于任何周期性信号，但在数字信号处理中，往往需要用到非周期性信号的傅里叶变换，即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），而FFT就是DFT的一种快速算法实现，可以大幅度减少计算量。

在信号处理中，输入信号通常是一维数组，而FFT将信号从时域转换为频域时，会生成一个与输入信号长度相同的一维数组，每个数组元素对应原信号中的一个频率分量。

FFT的计算过程可以用图示来表示，如下所示:


图中，输入的序列是$X_0$,$X_1$,$X_2$,$X_3$,$X_4$,$X_5$,$X_6$,$X_7$，其中，$X_n$表示第n个采样点的幅度值。按照FFT的计算过程，将输入序列分为偶数项和奇数项，然后将偶数项和奇数项分别进行FFT计算，最后将结果合并起来得到最终的FFT结果序列。

三、FFT计算过程

以长度为8的离散序列[1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1]为例，演示一下FFT计算过程。

首先，将序列分为偶数项和奇数项:

[1,3,4,2]和[2,4,3,1]

然后，对偶数项和奇数项分别进行FFT计算:

对偶数项进行FFT计算:

[1,3,4,2]->FFT->[10, -2+2j, -2, -2-2j]

对奇数项进行FFT计算:

[2,4,3,1]->FFT->[10,-2-2j,-2, -2+2j]

将两个结果合并起来:

[20,-4,-4,0,+4,-4,-4,0]

最终得到的序列便是原序列的FFT结果。

四、FFT算法性能分析

1. 时间复杂度

FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，这意味着随着输入序列长度N的增加，计算量的增长速度比较缓慢。这使得FFT算法在处理大量数据时具有明显的优势。

2. 空间复杂度

FFT算法需要额外的空间存储傅里叶变换的中间结果，因此其空间复杂度为O(N)。

3. 精度

FFT算法只能处理定长的离散序列，并且序列长度必须是2的次幂。这意味着当输入序列长度不足2的次幂时，需要进行zero-padding操作，以保证FFT算法计算正确。

此外，FFT算法的精度也受到浮点数算法本身的精度限制，处理极小或极大的数时可能会出现舍入误差。

五、FFT算法应用示例

1. 频谱分析

在信号处理中，频谱分析是一项非常重要的任务，用于确定输入信号中各个频率分量的强度大小。FFT算法可以快速地将时域信号转换为频域信号，得到信号的频谱信息。

以下是使用Python进行频域分析的示例代码：

```python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# 生成信号

Fs = 1000 # 采样频率

t = np.arange(0,1,1/Fs) # 生成时间向量

f1 = 10 # 信号频率1

f2 = 50 # 信号频率2

y = np.sin(2*np.pi*f1*t) + np.sin(2*np.pi*f2*t) # 生成信号

# 傅里叶变换

N = len(y)

y_fft = np.abs(np.fft.fft(y)/N) # 计算FFT

freq = np.fft.fftfreq(N, d=1/Fs) # 计算频率向量

# 绘制频谱图

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(freq[:N//2], y_fft[:N//2])

ax.set_xlabel('Frequency (Hz)')

ax.set_ylabel('Amplitude (dB)')

plt.show()

```

运行结果如下图所示：


可以看到，FFT算法成功地将信号转换为频域信号，我们可以识别出信号中包含的两个频率分量。

2. 图像处理

在图像处理中，我们通常需要将图像从时域转换为频域，进行滤波、增强等操作后再转换回时域。FFT算法也可以用于实现这个过程。

以下是使用Python进行图像转换、滤波和还原的示例代码：

```python

import numpy as np

import cv2

import matplotlib.pyplot as plt

# 读入图像

img = cv2.imread('lena.png', 0)

# 傅里叶变换

f = np.fft.fft2(img)

fshift = np.fft.fftshift(f)

# 计算频谱图并绘制

magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')

plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')

plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.show()

# 中心区域置零并显示处理后的频谱图

rows, cols = img.shape

crow, ccol = rows//2, cols//2

fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')

plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')

plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.show()

# 傅里叶逆变换还原图像

f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)

img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)

img_back = np.abs(img_back)

# 显示还原后的图像

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')

plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(122), plt.imshow(img_back, cmap='gray')

plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.show()

```

运行结果如下图所示：


可以看到，FFT算法成功地将图像从时域转换到频域，并进行了高通滤波处理，还原出了去除低频分量的图像。

六、总结

FFT算法是一种非常重要的数字信号处理技术，它能够快速地将时域信号转换为频域信号，实现信号分析、滤波、增强等一系列操作。FFT算法的优越性能使得它被广泛应用于信号处理、图像处理等领域。通过本篇文章，读者不仅可以深入了解FFT算法的原理和性能，还可以了解到如何使用Python实现FFT算法进行信号分析和图像处理。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/