最小生成树之克鲁斯卡尔(kruskal)算法

克鲁斯卡尔算法是用于寻找带权重的连通图的最小生成树的一种贪心算法。它以边为基础，而不是以点为基础，通过按边的权重从小到大的顺序逐步选择边来构建最小生成树。以下是克鲁斯卡尔算法的详细介绍及案例说明。

1. 算法原理：

(1) 将图的所有边按照权重从小到大排序。

(2) 创建一个初始空的最小生成树。

(3) 从权重最小的边开始，逐个考虑按权重顺序的边：

- 如果该边的两个端点属于不同的连通分量，说明加入该边后不会形成环路，可以将该边加入最小生成树中，并将两个端点所属的连通分量合并。

- 如果该边的两个端点属于相同的连通分量，说明加入该边后会形成环路，舍弃该边。

(4) 重复步骤 (3) 直到最小生成树中包含图的所有顶点（即所有边都考虑过）。

2. 算法实现：

(1) 对图的边按照权重从小到大排序。

(2) 创建一个空的最小生成树。

(3) 遍历排序后的边集合，对于每条边：

- 判断该边的两个端点是否属于不同的连通分量（可以用并查集实现），如果是，则将该边加入最小生成树，并将两个端点所属的连通分量合并。

- 如果该边的两个端点属于同一连通分量，则舍弃该边。

(4) 最终得到的最小生成树就是原图的最小生成树。

3. 案例说明：

假设有一个连通图，其中的边及其权重如下：

边1: (A, B) 权重为 4

边2: (A, C) 权重为 2

边3: (B, C) 权重为 3

边4: (B, D) 权重为 1

边5: (C, D) 权重为 5

根据克鲁斯卡尔算法，需要按照边的权重对边进行排序，得到的排序结果如下：

边4: (B, D) 权重为 1

边2: (A, C) 权重为 2

边3: (B, C) 权重为 3

边1: (A, B) 权重为 4

边5: (C, D) 权重为 5

然后从权重最小的边开始考虑，首先选择边4：(B, D)，将其加入最小生成树中，并将顶点B和顶点D所属的连通分量合并。此时最小生成树为：{(B, D)}。

接下来选择边2：(A, C)，将其加入最小生成树中，并将顶点A和顶点C所属的连通分量合并。此时最小生成树为：{(B, D), (A, C)}。

然后选择边3：(B, C)，但顶点B和顶点C已经属于同一连通分量，舍弃该边。

继续选择边1：(A, B)，将其加入最小生成树中，并将顶点A和顶点B所属的连通分量合并。此时最小生成树为：{(A, B), (B, D), (A, C)}。

最后选择边5：(C, D)，将其加入最小生成树中，并将顶点C和顶点D所属的连通分量合并。此时最小生成树为：{(A, B), (B, D), (A, C), (C, D)}。

最终得到的最小生成树为：{(A, B), (B, D), (A, C), (C, D)}。

最小生成树的总权重为：1 + 2 + 3 + 4 = 10。

通过克鲁斯卡尔算法，我们可以找到连通图的最小生成树，并能确定最小生成树的总权重。这对于构建网络、优化路径等具有重要意义。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/